Алгебра

Алгебра (від араб. الجبر‎ аль-джебр — відновлення) — розділ математики, що вивчає математичні операції і відношення, та утворення, що базуються на них: многочлени,алгебраїчні рівняння, алгебраїчні структури. Вивчення властивостей композицій різного виду в 19 столітті призвело до думки, що основне завдання алгебри — вивчення властивостей операцій незалежно від об'єктів, до яких вони застосовуються. З того часу алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості та закони композиції операцій. В наші дні алгебра — одна з найважливіших частин математики, що знаходить застосування як у суто теоретичних, так і в практичних галузях науки.

Стародавній світ

Розв'яжемо задачу: «Вік трьох братів 30, 20 і 6 років. Через скільки років вік старшого дорівнюватиме сумі віку обох молодших братів?» Позначивши шукану величину як х, складемо рівняння: 30 + х = (20 + х) + (6 + х), звідки х = 4. Близький до описаного метод розв'язання був відомий ще у II тисячолітті до н. е. переписувачам стародавнього Єгипту (проте вони не застосовували буквеної символіки). У збережених до наших днів математичних папірусах є не тільки задачі, що призводять до лінійних рівнянь з одним невідомим, як у задачі про вік братів, а й задачі, що призводять до квадратних рівнянь виду ax² = b.

Ще складніші задачі вміли розв'язувати на початку II тисячоліття до н. е. у древньому Вавилоні: в математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних табличках, є квадратні й біквадратні рівняння, системи рівнянь з двома невідомими і найпростіші кубічні рівняння. При цьому вавілоняни також не використовували буквених позначень, а наводили розв'язки типових задач, зводячи розв'язок аналогічних задач до заміни числових значень. В числовій формі наводились також і деякі правилатотожних перетворень. Якщо при розв'язанні рівняння треба було знайти квадратний корінь числа а, яке не є точним квадратом, наближене значення кореня х знаходили як середнє арифметичне чисел х і а/х.

Перші загальні твердження про тотожні перетворення зустрічаються у давньогрецьких математиків, починаючи з VI ст. до н. е. Серед математиків давньої Греції було прийнято висловлювати всі алгебраїчні твердження в геометричній формі. Замість додавання чисел говорили про додавання відрізків, добуток двох чисел тлумачили якплощу прямокутника, а добуток трьох чисел як об'єм прямокутного паралелепіпеда. Алгебраїчні формули приймали вигляд співвідношень між площами і об'ємами. Наприклад, говорили, що площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на цих відрізках, збільшеною на подвоєну площу прямокутника, побудованого на цих відтинках. Таким чином з'явилися терміни «квадрат числа» (тобто добуток величини на себе), «куб числа», «середнє геометричне». Геометричну форму у греків набув і розв'язок квадратного рівняння — вони шукали сторони прямокутника по заданим периметру та площі.

Більшість задач в Греції розв'язувалося шляхом побудов циркулем і лінійкою. Але не всі задачі могли бути розв'язані такими методами. Прикладами таких задач єподвоєння куба, трисекція кута, завдання побудови правильного семикутника (див. Класичні задачі давнини). Всі вони зводились до кубічних рівнянь виду х³ = 2, 4х³ — Зх = а і х³+ х² — 2х — 1 = 0 відповідно. Для розв'язку цих задач було розроблено новий метод, — відшукання точок перетину конічних перетинів (еліпса, параболи ігіперболи).

Геометричний підхід до алгебраїчних проблем обмежував подальший розвиток науки. Наприклад, не можна було додавати величини різних розмірностей (довжини,площі, об'єму), не можна було говорити про добуток більш ніж трьох множників тощо. Ідея відмови від геометричного трактування з'явилася у Діофанта Александрійського, який жив у III ст. У його книзі «Арифметика» з'являється буквена символіка і спеціальні позначення для степенів аж до 6-ї. Були у нього і позначення для від'ємних степенів, від'ємних чисел, а також знак рівності (особливого знаку для додавання ще не було), стислий запис правил множення додатніх і від'ємних чисел. На подальший розвиток алгебри сильний вплив мали досліджені Діофантом задачі, що приводять до складних систем алгебраїчних рівнянь, у тому числі до систем, де кількість рівнянь була меншою кількості невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише додатні раціональні розв'язки (див. Діофантові рівняння).

З VI ст. центр математичних досліджень переміщається в Індію, Китай, країни Близького Сходу та Середньої Азії. Китайські вчені розробили метод послідовноговиключення невідомих для розв'язання систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного розв'язку рівнянь вищих степенів. Індійські математики (Аріабхата I,Брамагупта) використовували від'ємні числа, вдосконалили буквену символіку. Однак лише в працях вчених Близького Сходу та Середньої Азії алгебра оформилася у самостійну галузь математики, що займається розв'язком рівнянь. У IX ст. узбецький математик і астроном Мухаммед аль-Хорезмі написав трактат «Кітаб аль-джебр ва-ль-мукабала», де дав загальні правила для розв'язання рівнянь першого степеня. Слово «аль-джебр» (відновлення), від якого нова наука отримала свою назву, означало перенесення від'ємних членів рівняння з однієї частини в іншу з зміною знака. Вчені Сходу вивчали розв'язок кубічних рівнянь, хоча не зуміли отримати загальної формули для їх коренів.

У Європі вивчення алгебри почалося в XIII ст. Одним з великих математиків цього часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (близько. 1170 — після 1228). Його«Книга абака» (1202) — трактат, який містив відомості про арифметику і алгебру до квадратних рівнянь включно (див. Числа Фібоначчі). Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських вчених було відкриття формули для розв'язання кубічного рівняння, опублікованої в 1545 . Це було заслугою італійських алгебраїстівСципіон дель Ферро, Нікколо Тарталья і Джироламо Кардано. Учень Кардано Лодовіко Феррарі розв'язав і рівняння 4-го степеня. Вивчення деяких питань, пов'язаних з коренями кубічних рівнянь, привело італійського алгебраїста Р. Бомбеллі до відкриття комплексних чисел.

Розвиток символіки

Відсутність зручної і розвиненої символіки стримувало подальший розвиток алгебри: найскладніші формули доводилося викладати у словесній формі. Наприкінці XV ст.Лука Пачолі зробив спробу ввести алгебраїчну символіку, хоча більшого успіху досяг наприкінці XVI ст. французький математик Франсуа Вієт, запровадивши літерні позначення не лише для невідомих, а й для довільних постійних величин. Символіку Вієта було вдосконалено його послідовниками. Остаточного вигляду їй надав у XVII ст. французький філософ і математик Рене Декарт, який запровадив (вживані досі) позначення для показників степенів.

Поступово розширювався запас чисел, з якими можна було виконувати дії. Завоювали права громадянства від'ємні числа, потім — комплексні, вчені стали вільно застосовувати ірраціональні числа. Виявилося, що, попри таке розширення запасу чисел, раніше встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають свою силу. Нарешті, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми. Все це дозволило розглядати питання розв'язку рівнянь у найзагальнішому вигляді, застосовувати рівняння до розв'язання геометричних задач. Наприклад, задача про знаходження точки перетину двох прямих звелася до розв'язку системи рівнянь, яким задовольняли точки цих прямих. Такий метод розв'язку геометричних задач отримав назву аналітичної геометрії.

Розвиток літерної символіки дозволив встановити загальні твердження щодо алгебраїчних рівнянь: теорема Безу про подільності багаточлена P(х) на двочлен (х — а), деa — корінь цього багаточлена; формула Вієта для співвідношення між коренями квадратного рівняння і його коефіцієнтами; правила, які дозволяють оцінювати кількість дійсних коренів рівняння; загальні методи виключення невідомих з систем рівнянь тощо.