АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 5

Тема. Тригонометричні функції кута

Мета уроку: повторити означення тригонометричних функцій го­строго кута прямокутного трикутника і ввести озна­чення тригонометричної функції довільного кута.
І. Аналіз помилок, допущених у математичному диктанті та самостійній роботі.
1. Побудуйте графіки функцій (індивідуальні картки):
а) ; б) ; в) ; г) .
Відповідь: а) рис. 25; б) рис. 26; в) рис. 27; г) рис. 28.

2. Побудуйте графіки функцій (індивідуальні картки):
а) ;  б) 
Відповідь: а) рис. 29;   б) рис. 30.

II. Повторення відомостей про тригонометричні функції гострих кутів прямокутного трикутника.
Провести повторення шляхом фронтальної бесіди з викорис­танням таблиці 3.

1. Дайте означення синуса гострого кута прямокутного трикут­ника.
2. Дайте означення косинуса гострого кута прямокутного три­кутника.
3. Дайте означення тангенса гострого кута прямокутного трикутника. (Увести поняття котангенса гострого кута прямокутного три­кутника).
4. Користуючись рис. 31, знайдіть sin α, cos α, tg α, ctg α, sin β, cos β, tg β, ctg β.

5. Обчисліть:
а) 2 cos 60° +  cos 30°;                    
б) 3tg45°·tg60°;
в) 2 cos 30° + 6 cos 60° – 4 tg 45°;
г) 2 ctg 60° – 2 sin 60°.
6. Спростіть:
a) (1 – cosα)(1 + cosα);      
6) tgα – ctgα + sin2 α + cos2 α.

III. Повторення відомостей про тригонометричні функції довільного кута
У курсі геометрії для кутів від 0° до 180° було дано означення синуса, косинуса, тангенса за допомогою кола. Нагадаємо ці озна­чення. Нехай дано коло радіуса R, центр якого знаходиться у по­чатку координат. Відкладемо від додатної півосі у верхню півплощину кут α, друга сторона якого перетне коло в точці Рα(х; у) (рис. 32).

Синусом кута називається відношення ординати точки Рα(х; у) кола до його раді­уса: .
Косинусом кута називається відношен­ня абсциси точки Рα(.х; у) кола до його радіуса: .
Тангенсом кута називається відношен­ня ординати точки Рα(х; у) до її абсциси:.
Котангенсом кута називається відношення абсциси точки Рα(х; у) до її ординати: .
Приклад 1. Знайти sin α, cos α, tg α, ctg α, якщо α = 120°. Побудувавши точ­ку Р120º, маємо (рис. 33):
; ; ; ;

Якщо будь-який кут розглядати як фігуру, утворену обертан­ням променя навколо своєї початкової точки у двох можливих напрямах (додатному — проти годинникової стрілки, від'ємно­му — за годинниковою стрілкою), то дане визначення можна використовувати для будь-яких кутів.
Приклад 2. Знайти sin α, cos α, tg α, ctg α, якщо α = 270°. При повороті на 270° навколо точки О радіус ОА, який дорівнює R, перейде в радіус ОР, тоді (рис. 34)
Р270º·(0; -R ) і, отже, sin 270° =  = -1, cos 270° =  = 0, ctg270° =  = 0 ,  tg 270° не має змісту.

Із курсу геометрії відомо, що вели­чина кута в градусах виражається чис­лом від 0° до 180°. Кут Повороту може виражатися в градусах, яким завгодно дійсним числом від - до +.

Приклад 3. Якщо початковий радіус ОА зробив повний оберт проти годинникової стрілки, то кут повороту буде дорівнювати 360° (рис. 35). Якщо початковий радіус ОА зробив півтора обер­ти проти годинникової стрілки, то кут повороту буде дорівнюва­ти 540º (рис. 36). Якщо початковий радіус ОА зробив два повних оберти і чверть оберту за годинниковою стрілкою, то кут поворо­ту буде дорівнювати 2 (-360°) - 90° = - 810° (рис. 37).

Розглянемо радіуси ОА і ОВ. Існує безліч кутів повороту, при яких початковий радіус ОА переходить у радіус ОВ (рис. 38). Нехай <AОВ = α, тоді відповідні кути повороту бу­дуть дорівнювати α + 360°n, де n — ціле чис­ло (n  Ζ).

Якщо початковий радіус переходить у ра­діус ОВ при повороті на кут а, то в залеж­ності від того, у якій четверті буде радіус 0B, кут α називають кутом цієї чверті. Так, якщо 0° < α < 90°, то α – кут І чверті; якщо 90° < α < 180°, то α — кут II чверті; якщо 180° < α < 270°, то α — кут III чверті; якщо 270° < α < 360°, то α — кут IV чверті. Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360° не відно­сяться ні до якої чверті.
У курсі геометрії було доведено, що значення синуса, косину­са і тангенса кута α, де 0° < α < 180° залежить тільки від α і не залежить від довжини R. І в загальному вигляді sin α, cos α, tg α, а також ctg α залежать тільки від кута α.
Вирази sin α і cos α, визначені для будь-яких а, так само як для будь-якого кута повороту, можна знайти відношенням   і .
Вираз tg α має смисл при будь-яких а, крім кутів повороту ±90°; ±270°; ±450°, тобто α  90°+180° n , (n  Ζ).
Вираз ctg α має смисл при будь-яких а, крім кутів повороту 0°; ±180°; ±360°.., тобто, α 180°n, (n  Ζ).
Кожному допустимому значенню α відповідає єдине значення sin α, cos α, tg α, ctg α, тому синус, косинус, тангенс, котангенс є функ­ціями кута α. Їх називають тригонометричними функціями.

Виконання вправ
1. Чому дорівнюють кути повороту, які показано на рисунку 39.

Рис. 39

2. Накресліть коло із центром у початку координат і побудуйте кут повороту, що дорівнює: а) 135°; б) -120°; в) 540°; г) -810°.
3. Запишіть всі кути поворотів, при яких радіус ОА переходить у радіус ОВ (рис. 40).

Рис. 40

4. Побудуйте коло з центром у початку координат і кути пово­роту, що дорівнюють:
а) 90° + 360° n, (n  Z);    
б) 180° + 360° n, (n  Z);
в) –90º + 180° n, (n  Z);   
г) ±60° + 360º n, (n  Z).
5. Визначте, кутом якої чверті є кут α, якщо кут а дорівнює:
а) 181°;   б) 179°;   в) 271°;   г) 361°;   д) 345°;   є) 800°.
6. Серед кутів повороту 790°; 500°; -30°; 1580°; -220°; -290° знайдіть такі, при яких початковий радіус займе таке саме положення, як і при повороті на кут: а) α = 70°; 6) α = 140°.
7. Накресліть коло з центром на початку координат і радіусом R = 5 см. Поверніть початковий радіус на кут α і знайдіть наближене значення sin α, cos α, tg α, ctg α, якщо α = 50°; 175°; -100°.

IV. Підсумок уроку

V. Домашнє завдання
Розділ І § 2. Запитання і завдання для повторення № 32-34. Вправи № 4, 5.