АЛГЕБРА

Уроки для 10 класів

УРОК 1

Тема. Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції

Мета уроку: Узагальнення і систематизація знань учнів про чис­лові функції (область визначення і область значення функцій, зростаючі і спадні функції, парні і непарні функції).
І. Мотивація навчання
Процеси реального світу тісно пов'язані між. собою. Серед різноманіття явищ вчені виділили такі, у яких взаємозв'язок величин настільки тісний, що, знаючи значення однієї з них, можна визначити значення другої величини.
Наприклад, знаючи сторону квадрата, можна знайти його площу або периметр.
Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню χ відповідає єдине значення у, називається функцією.
З поняттям функції ви познайомилися в курсі алгебри. По­няття функції є важливим поняттям курсу алгебри і початків аналізу, отже, ми повинні згадати і узагальнити відомості про функції. Крім того, досліджуючи властивості функцій, ми має­мо можливості ґрунтовніше пізнати реальний світ.

II. Систематизація і узагальнення основних відомостей про числові функції
Числовою функцією з областю визначення D називається за­лежність, при якій кожному числу х із множини D ставиться у відповідність по деякому правилу єдине число у із множини Е.
Змінна х називається незалежною змінною або аргументом функції, а змінна у — залежною змінною або функцією.
Функцію позначають латинськими буквами f, g, h... (або f(x), g(x), h(x)) або рівностями у = f(x), у = g(x), у = h(x)... Якщо задане конкретне значення незалежної змінної х = х0, то у0 = f(x0) називається значенням функції f в точці х0.
Область визначення функції позначається D(f) (від анг. defi­ne — визначити). Множина, яка складається із всіх чисел f(x) таких, що х належить області визначення функціїf, називаєть­ся областю значень функції і позначається E(f) (від анг. exist — існувати).
Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:

Час доби х (год)	9	12	15	18	21	24
Температура тіла y=f(x) (С°)	39	38,5	38,3	37,3	37,1	37

Залежність у·= f(x) є функцією, х — незалежна змінна, у — залежна змінна.
f(9) = 39, f(12) = 38.5,..., f(24) = 37.
D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.
E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.
Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, фор­мули.
Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу х.
Наприклад. Якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функ­цію можна записати у вигляді формули:

у = х2 або f(x)= x2.

Областю визначення функції у = f(x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати). При знаходженні області визначення слід пам'ятати:
1)  Якщо функція є многочленом  у = аn хn + αn-1 xn-1 +... + α1x + a0, то D(y) = (-; +) = R.
2) Якщо функція має вигляд у =  , де f(x) і g(x) — многочлени, то слід вважати g(x)0 (знаменник дробу не дорів­нює 0).
3) Якщо функція має вигляд у =  , то слід вважати f(x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел).
Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок пло­щини з координатами (x;f(x)) , де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(x), а друга координата — це відповідні значення функції в точці х.

Виконання вправ

1. Знайдіть значення функції:
 a) f(x) =  у точках 1; -1; 5;

б) f(x) =  у точках 3; 12; 52.
Відповідь: а) f(1) = 2, f(-1) = 0; f(5) = 1,2;
б) f(3) = 0; f(12) = 3; f(52) = 7
2. Функцію задано формулою у = x2 на області визначення D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за до­помогою:
а) таблиці; б) графіка.
Відповідь:

a)	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
	y	9	4	1	0	1	4	9

б) рис. 1

3. Знайдіть область визначення функції:
а) у = х2 + х3; б)  ; в) ; д) ; є) .
Відповідь:
a) D(y) = R;  б) D(y) = (-; 3)  (3; +);  в) D(y) = (-;-2)  (-2;0)  (0;+); г) D(y) = (-; -3)  (-3; 3)  (3; +); д) D(y) = (-;l)  (l;4)  (4;+); є) D(y) = [-6;+).
4. Знайдіть область значень функції: а) у =; б) у =  -1.
Відповідь: а) Е(у) = [2; +); б) Е(у) = [1; +).

5. Для функцій, графіки яких зображено на рис. 2, вкажіть D(y) і Е(у).

Рис. 2

Відповідь:
а) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1];
б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];
в) D(y) = (-1;1); E(у) = R;   
г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).
6. Які із ліній, зображених на рисунку 3, є графіком функції? Чому?

Відповідь: а); в).       
III. Систематизація і узагальнення знань учнів про спадні, зростаючі, парні та непарні функції.
Функція у = f(x) називається зростаючою (рис. 4), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції таких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) < f(x2) і навпаки: із того, що f(x1) < f(x2) виконується нерівність х1 < х2.

Функція у = f(x) називається спадною (рис. 5), якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції та­ких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) > f(x2) і навпаки: якщо у = f(x) — спадна, то із того, що f(x1) > f(x2), виконується нерівність х1 < х2.

Виконання вправ
1. Користуючись графіками функцій, зображених на рисунку 6, укажіть проміжки зростання і спадання функцій.

Відповідь:
а) на кожному з проміжків [-1;0], [1;2] функція зростає, на кожному з проміжків [-2;-1], [0;1] функція спадає;
б) на кожному з проміжків [-3;-2], [1;2] функція спадає; на проміжку [-2;1] функція зростає;
в) на проміжку (-;-1] функція спа­дає, на проміжку [-1; 1] функція постійна, на проміжку [1;+) функція зростає.
2. Функція у = f(x) зростаюча. Порівняйте: а) f(10) і f(-10);  б)  і .
Відповідь: а) f(10) > f(-10);  б)  < .      
3. Функція у = f(x) — спадна на R. Порівняйте: а) f(10) і f(-10);  б)  і .
Відповідь: а) f(10) < f(-10); б)  > .
4. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
а) у = x - 3;  б) у = -x + 3;  в) у = x2 + 1;  г) у = -х2 + 1.
Відповідь:
а) зростає на R;  
б) спадає на R;
в) зростає на проміжку [0;+) і спадає на проміжку (-;0];
г) зростає на проміжку (-;0] і спадає на проміжку [0;+).

Функція у = f(x) називається парною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х також належить D(y) і виконується рівність f(-x) = f(x).
Графік парної функції симетричний відносно осі ОУ (рис. 7).

Приклад 1. Чи парна функція f(x) = χ4 + χ2 ?

Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)4 + (-x)2 = х4 + х2 = f(x) , функція парна.
Приклад 2. Чи парна функція f(x) = х2 + х ?

Оскільки D(f) = R, але f(-x) = (-х)2 + (-х) = х2 – х f(x), то функція не є парною.
Функція у = f(x) називається непарною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення -х  D(y) і виконується рівність f(-x) = -f(х).
Графік непарної функції симет­ричний відносно початку координат (рис. 8).

Приклад 3. Чи непарна функція f(х) = x3 - x5?

Оскільки D(f) = R і f(-х) = (-х)3 - (-х) =  -х3 + х5 = -(х3 - х5) = -f(х), функція непарна.
Приклад 4. Чи непарна функція f(х) = х3 – х2 ?
Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)3 - (-х)2 = -х3 - х2 = -(х3 + х2)f(x) = -х3 + х2, функція не є непарною.

Виконання вправ

1. Які із функцій, графіки яких показано на рисунку 9, є пар­ними, а які непарними?

Рис. 9

Відповідь: непарні — а), в); парні — б) д).
2. Які із поданих функцій а) у = х3 + 2х7; б) у = ; в) у = ; г) у = 3x2 + х6; д) у = х +1; є) у =  +1 є парними, а які — не­парними?
Відповідь: парні — в), г); е); непарні — а).

IV. Підведення підсумків уроку

V. Домашнє завдання
Розділ І § 1(1). Запитання і завдання для повторення розділу І № 1-12. Вправи № 1 (2; 5; 7), № 2 (3; 5).